Poznati glumac je jedan od najpoželjnijih neženja u Srbiji, a o njegovom privatnom životu se ne zna mnogo detalja.
Vuk Kostić je od prvog dana jedan od najboljih domaćih glumaca, što i ne čudi ako se uzme u obzir da potiče iz umetničke porodice.
Zavoleli smo ga čak i kada je tumačio negativce, a njegovom šarmu nisu odolele brojne poznate dame s kojima su ga povezivali.
Ipak, Vuk je uvek isticao koliko porodica znači za njega i koliko je ponosan na svoje roditelje. Njegov otac je bio glumac Mihajlo Kostić Pljaka, najviše upamćen po ulogama u Povratku otpisanih, Sivom domu, filmu Ljubičice, a mnogi se sećaju i njegove epizodne uloge u kultnoj seriji Srećni ljudi, gde je tumačio upravnika kafilerije u koju dolaze Vukašin Golubović i njegov sin Neca.
Mihajlo je bio glumac Jugoslovenskog dramskog pozorišta, a igrao je u velikom broju domaćih filmova i serija. Karijeru na filmskom platnu započeo je 1957. ulogom tabadžije u ostvarenju "Subotom uveče", a poslednju ulogu odigrao je kao Milutin Nedić u seriji "Đeneral Milan Nedić" (1999).
Poznato je i da je 18 godina nakon smrti dobio čak dve ulice u Beogradu, Pljakinu ulicu u Zemunu i ulica Mihajla Pljake Kostića na Zvezdari. Nažalost, Mihajlo je preminuo u 67. godini nakon borbe sa leukemijom.
Vukova majka Gordana nije volela preterano isticanje po medijima, a glumac je jednom prilikom objavio zajedničku fotografiju sa njom i bratom Nestorom, pa su se svi složili sa tim da je bila prava lepotica.